Je vais présenter ici un modèle simple et déjà ancien qui permet de comprendre ce qu'il peut se passer quand un système en croissance exponentielle rencontre ses limites. Il a été proposé vers 1840 par le belge Pierre-François Verhulst, qui , pour des raisons encore obscures, lui a donné le nom de "courbe logistique", passé à la postérité. C'est un modèle-type courant en dynamique des populations, mais nous verrons aussi qu'il existe des raffinements conduisant à décrire des comportements plus compliqués.
Verhulst a cherché à modéliser comment un système pouvait "terminer" sa croissance exponentielle, après les écrits de Malthus qui déjà, avait démontré qu'une croissance exponentielle indéfinie était impossible (j'aurai l'occasion de revenir sur les soi-disants "erreurs" de Malthus...)
Son idée est assez simple. Rappelons-nous que la croissance exponentielle est une conséquence directe de l'équation qui décrit que la vitesse d'accroissement d'une quantité est directement proportionnelle à cette quantité elle même (si elle double, sa vitesse d'accroissement double aussi) :
dA/dt = k A
Il est important de se rappeler que si une exponentielle croit de plus en plus vite en absolu , en revanche, elle croit toujours au même rythme en relatif. Par exemple, si on passe dans le même temps de 10 à 12, on passera aussi dans le même temps de 1000 à 1200 ; c'est plus en absolu (+ 200 au lieu de +2), mais c'est la même chose en relatif (+ 20 % dans les deux cas). L'exponentielle est donc une croissance à taux relatif constant. C'est une idée qu'on pourrait résumer simplement en disant : une exponentielle, c'est quand les enfants se reproduisent au même rythme que leurs parents (au sens général .... les enfants peuvent aussi etre les interêts des sous qu'on met sur un livret de caisse d'épargne ...).
Comme nous l'avons vu, cette simple règle fournit néanmoins rapidement des croissances absurdes. Si l'exponentielle n'est pas tenable, alors l'hypothèse précédente doit être fausse : les enfants doivent, à un moment, se reproduire de moins en moins vite.
La modélisation simple proposée par Verhulst est que le coefficient k n'est en fait pas constant, mais en fait décroît quand la population A augmente. Verhulst propose la loi la plus simple possible : une décroissance de k linéaire avec A
k = ko (1-A/Amax)
ko représente le taux de croissance "initial" pour A très petit (population encore très petite), mais il décroit au fur et à mesure que A augmente et finit par s'annuler si A = Amax. Amax représente une population maximale qui ne peut plus croître. On l'appelle aussi "capacité d'accueil" ("carrying capacity" en anglais).
L'équation différentielle logistique va donc être
dA/dt = ko (1-A/Amax).A
bien qu'un peu plus compliquée que l'equation exponentielle, on peut encore la résoudre et en déduire la loi A(t). Notons que le terme supplémentaire rajouté , - koA^2/Amax, est "non linéaire" car il dépend du carré de A : c'est un exemple simple de ce qu'on appelle une "rétroaction non-linéaire". Les lecteurs interessés peuvent consulter par exemple l'article de wikipedia sur le sujet. On trouve finalement la solution (un peu compliquée mais encore raisonnablement simple pour un mathématicien !) :
A(t) = Amax/ [ 1 + (Amax/Ao -1).exp(-ko.t)]
un exemple de courbe est donné ici pour k = 1, Ao = 1, et Amax = 10 (en bleu), avec la comparaison avec l'exponentielle (en rouge) pour k= 1 et Ao = 1. On voit qu'au début, la courbe logistique ressemble à l'exponentielle, mais qu'elle s'infléchit ensuite et finit par tendre vers un plateau A = Amax (mathématiquement le plateau n'est jamais vraiment atteint mais le courbe s'en approche très vite et elle devient finalement pratiquement constante).
La courbe est appelée une "sigmoïde" à cause de sa forme en "S". La courbe présente un point d'inflexion I à la moitié de la valeur asymptotique , c'est à dire A = Amax/2 . A ce moment, la croissance arrête d'augmenter en absolu et commence à diminuer. Il reste encore la moitié à croitre avant l'asymptote. Il est assez facile de montrer que ce point d'inflexion arrive lorsque exp(ko t) = (Amax/Ao -1) soit ti = ln(Amax/Ao -1)/ko.
En prenant comme nouvelle origine des temps ce temps ti, ce qui revient à poser T = t-ti, la loi logistique devient un peu plus simple à écrire
A(T) = Amax/(1+exp(-koT))
Il est également intéressant de porter la croissance de la population, correspondant à la variation annuelle (ou plus généralement "par unité de temps"), qui s'obtient avec la dérivée de la fonction précédente.
Les matheux calculeront facilement cette dérivée
dA/dT = ko Amax.exp(-ko.T)/[ 1 +exp(-ko.T))]^2
= ko Amax /4 ch^2 [ko.T/2]
ou la notation ch signifie le cosinus hyperbolique ch(x) = (exp(x) +exp(-x))/2.
(remplacer T par t-ti pour revenir au temps original).
Cette fonction est représentée ci-dessous : là encore, elle augmente au début comme une exponentielle, puis passe par un maximum en T = 0 (soit t = ti, le point d'inflexion). A ce moment la croissance est maximale. Puis la croissance rediminue et finit par décroitre (aussi exponentiellement) en exp(-ko t) (Notons que quand la population est constante, son accroissement devient bien évidemment nul ! ).
La loi logistique a été employée dans un nombre très grand de situations. Elle est intéressante comme représentation simplifiée, mais essentiellement correcte, du comportement d'un système tendant à croitre mais soumis à une limite. On peut dire que le système croît exponentiellement "tant qu'il ne sent pas les limites", mais que quand il commence à les sentir, sa croissance diminue puis s'annule.
La loi logistique s'applique par exemple à une population animale introduite dans un milieu naturel favorable : elle croit exponentiellement jusqu'à ce que les capacités naturelles du milieu régulent sa croissance, et elle finit par se stabiliser à une valeur stationnaire. Elle a aussi été employée par Hubbert pour modéliser le comportement d'une ressource finie, le pétrole : dans ce cas la fonction logistique représente la quantité totale extraite au temps t, qui tend vers une limite (les réserves ultimes). Sa variation qui donne une courbe en cloche représente la production annuelle de la ressource. C'est pourquoi la seconde courbe bleue s'appelle aussi "courbe de Hubbert". J'utiliserai ce modèle pour discuter des courbes approximatives de production de ressources.
Ce qu'il faut retenir de ces courbes, c'est qu'elles donnent une image physiquement correcte du comportement d'une quantité qui tend à croître exponentiellement, mais qui rencontre des limites, sans avoir les comportements pathologiques de l'exponentielle. Les exemples sont innombrables : par exemple si vous mettez le feu avec une allumette à un tas de broussailles, le feu va croitre exponentiellement au départ, mais une fois qu'il a consumé tout le combustible, il va s'éteindre (si vous mettez le feu a toute la forêt, ça sera un peu plus long mais il finira quand même par s'éteindre ! ). Une explosion, chimique ou nucléaire, est aussi de ce type : croissance très rapide pendant les premières fractions de seconde, et extinction ensuite. La fonction logistique illustre sur un cas simple que l'exponentielle ne peut pas durer un temps infini : la croissance exponentielle est essentiellement un phénomène transitoire, une instabilité connectant pendant un temps fini deux états stationnaires, qui ne dure pas plus que quelques temps de doublement.
Cette propriété est absolument "naturelle" pour un physicien : j'entends par là que quand un physicien tombe sur une équation de type exponentiel, il en conclut immédiatement, et sans discuter : tiens on a un phénomène transitoire qui va s'amplifier un certain temps, jusqu'à rencontrer une limite physique qui le fera stabiliser, ou disparaitre, et qui ne durera pas plus que quelques temps de doublement. Ce n'est même pas concevable qu'il en soit autrement. Très curieusement, il semble que les économistes n'aient pas le même réflexe : ils "pensent " la croissance comme un état normal, stable, et, a priori, indéfini. Pourtant tout montre que l'économie moderne n'échappe aucunement à ces lois. Meme si la croissance a été forte pendant deux siècles, elle n'a duré que quelques temps de doublement - rien d'impossible jusque là - mais ça ne signifie nullement qu'elle puisse être extrapolée à l'infini.
Le problème essentiel est de savoir ensuite le type de comportement suivi par le système : on a deux courbes naturelles : la sigmoïde de départ, qui tend vers une limite finie, et sa dérivée, la courbe en cloche de Hubbert, qui elle tend vers zéro. La sigmoïde sera suivie si le système est contraint par une limite naturelle stationnaire, ce qui est le cas de la nourriture par exemple qui se renouvelle à taux constant. La courbe en cloche sera suivie par l'épuisement d'une ressource finie, comme dans le cas de la production de pétrole étudiée par Hubbert. A priori, la courbe sigmoïde sera suivie par une civilisation agricole qui atteindra un "plafond" quasi-stationnaire (en réalité le plafond peut bouger au cours du temps par suite de progrès lents dans les techniques, les variations climatiques, les rencontres d'autres civilisations... tout cela donne un comportement plus complexe que la simple sigmoïde). Mais notre civilisation a une caractéristique absolument spécifique, c'est qu'elle repose sur l'exploitation massive d'une ressource finie, les énergies fossiles. On peut donc penser raisonnablement que la courbe naturellement suivie sera plutot en cloche, comme un feu de broussailles. En réalité à l'échelle géologique, l'utilisation des fossiles peut être considérée comme la mise en combustion brutale et rapide d'une réserve finie d'hydrocarbures - et à l'échelle de temps géologique elle a toutes les caractéristiques d'une combustion explosive, et non lente : rappelons nous que les fossiles ont été accumulés en plusieurs centaines de millions d'année et que nous sommes en train de les bruler en quelques siècles seulement !
Néanmoins, après l'épuisement des fossiles, on sera à nouveau revenu, de force, à l'exploitation de renouvelables. Le problème serait alors de connecter une "histoire fossile" de durée finie, à une "histoire renouvelable", qui a duré avant et qui durera après les fossiles. Je discuterai dans un prochain post de la plausibilité (selon moi en tout cas) des différentes possiblités de "raccordement" de ces phases.
