Dans le post précédent, nous avons revu quelques propriétés mathématiques de l'exponentielle. Certains commentaires m'ont fait sentir d'ailleurs que le ton était un peu trop "leçon de maths" , et qu'il avait découragé certains de le lire :). Je vais donc résumer brièvement ces propriétés, dont la plus importante, la seule à vrai dire qu'il faut retenir, est la suivante :
Une exponentielle est une fonction (en fait l'unique fonction, à un facteur d'échelle près), qui a la propriété fondamentale suivante : elle est multipliée par un facteur constant, à chaque fois qu'on avance d'un intervalle de temps constant.
Autrement dit il y a une relation unique et déterminée entre un intervalle de temps Tc donné, et un facteur multiplicatif C correspondant de la variable. Il y a un intervalle caractéristique correspondant à une multiplication d'un facteur 2, (le temps de doublement T2), un autre par une multiplication par 3, ou par 10, ou par 1000.... Chaque fois qu'on passe un temps T2 par exemple, l'exponentielle double, en passant de 1 à 2, puis de 2 à 4, puis de 4 à 8 ....
L'intervalle de temps Tc correspondant à une multiplication par C est donné par
Tc = ln(C)/k
ou inversement
C = exp(k.Tc)
où k est le coefficient caractéristique, le "taux de croissance" de l'exponentielle (ln est la fonction logarithme népérien, qui est la fonction réciproque de l'exponentielle : si y = exp(x), alors x = ln(y) ).
le seul paramètre libre est la constante k, qui est le taux de croissance de l'exponentielle. Numériquement lorsque t est mesurée en année, k est (pratiquement) le taux de croissance en % ( à r% /an, k = r/100).
ces formules peuvent s'appliquer pour n'importe quel C, avec le Tc correspondant, mais pour fixer les idées on prend souvent C = 2, ce qui permet de définir le temps de doublement T2 = ln(2)/k = 70/r ans environ.
Au bout de 10 temps de doublements, la quantité sera multipliée par 2^10 = 1000 environ (ça revient à prendre C = 1000, et T1000 = 10*T2)
Appliquons maintenant ces principes à une croissance économique, avec des taux "raisonnables" considérés par les économistes :
* si r = 2 % par an, le temps de doublement est de 70/2 = 35 ans. La quantité sera multipliée par 1000 en 350 ans.
* si r = 5 % par an, le temps de doublement est de 70/5 = 14 ans. La quantité sera mutlipliée par 1000 en 140 ans.
* si r = 10 % par an, le temps de doublement est de 70/10 = 7 ans. La quantité sera multipliée par 1000 en 70 ans.
A cause du caractère multiplicatif à chaque étape, l'exponentielle devient rapidement vertigineuse dès qu'on dépasse quelques temps de doublement. Prenons l'exemple de +2 % /an, un taux a priori anodin et meme jugé faiblard par les économistes . Comme nous avons dit, cela correspond à une multiplication par 1000 en 350 ans, et donc par 1000^3 = 1 milliard en 1000 ans environ, par un milliards de milliards au bout de 2000 ans (attention pas par deux milliards, mais bien par un milliards de milliards), etc....
Image de l'échiquier et des grains de blé - Crédit Futurasciences
Cette progression a été illustrée dans une parabole connue, celle de l'échiquier. Probablement imaginaire, cette histoire raconte que l'inventeur du jeu d'échec (supposé avoir été inventé dans un pays musulman, mais il l'a plutot probablement été en Inde) aurait demandé au calife qui voulait le récompenser de lui donner "juste" un grain de blé sur la première case, deux sur la deuxieme, quatre sur la troisieme, etc... en doublant à chaque fois le nombre. On reconnait le calcul exponentiel, le saut d'une case etant l'analogue du passage d'un temps de doublement. Ravi de la modestie de la demande, le calife ordonna qu'on la satisfasse immédiatement .. à la désolation de l'intendant qui s'aperçut qu'il fallait 1+2+4 ... =2^64-1 = 18 446 744 073 709 551 615 (voir le calcul ici par exemple) grains de blé, représentant des centaines de milliards de tonnes, plus de mille ans de production de l'époque ! et quelques cases de plus aurait encore multiplié ce nombre par 10, 100 ....
Appliquons le meme calcul à l'énergie. La puissance actuelle consommée par l'humanité est d'environ 10 Gtep par an, ce qui converti en watts (les lecteurs me feront confiance) correspond à environ 13 000 GW (milliards de W) ou 1,3 10^13 W. C'est beaucoup, mais la puissance du Soleil est d'environ 3,8 10^26 W soit environ 30 000 milliards de fois plus. On est donc très loin de consommer la puissance du Soleil... mais au rythme de 2% par an, nos besoins atteindraient la puissance entière du Soleil en 1300 ans environ. 1300 ans de plus, et nous aurions besoin de 30 milliards de Soleil , pratiquement toutes les étoiles de la galaxie. Encore 1300 ans de plus , nos besoins reviendraient à capter l'énergie de dizaines de milliards de galaxies, pratiquement tout l'Univers visible. En meme pas 5000 ans de croissance à 2% par an, nous aurions donc besoin de toute l'énergie disponible dans l'Univers.
Or 5000 ans, c'est beaucoup, mais ce n'est pas ENORME dans l'histoire de l'humanité. C'est à peu près la date de l'Histoire, depuis l'invention de l'écriture à Sumer puis un peu après en Egypte. L'espèce humaine est bien plus vieille, plusieurs centaines de milliers d'années pour l'homo sapiens, plusieurs millions d'années pour le genre homo. 5000 ans, c'est une durée ridiculement courte par rapport à l'évolution des espèces.
J'emprunte sans vergogne un graphique à un blog anglo saxon que je viens de découvrir, très voisin du mien puisqu'il est tenu par un astrophysicien et développe des considérations mathématiques et scientifiques sur les problèmes de l'énergie et de l'environnement :). Il fait à peu près le même calcul avec un taux un peu différent (2,3 % /an au lieu de 2%), mais aboutit bien sûr aux même conclusions qualitatives : nous épuiserions la puissance totale du Soleil en un peu plus de 1000 ans, celle de la galaxie en un peu plus de 2000 ans. Ce graphique est tracé avec une échelle logarithmique pour les ordonnées, chaque unité représente un facteur 10 de plus. Avec une échelle logarithmique, l'exponentielle apparait linéaire - mais cela traduit toujours la même chose, un facteur multiplicatif constant à chaque fois qu'on progresse d'un pas de temps constant. Sont représentés : la puissance correspondante à 20 % de la puissance solaire incidente sur les terres émergées, celle correspondant à 100 % de cette puissance, puis 100 % de la puissance totale arrivant sur la planète, la puissance totale du Soleil, et la puissance de la Galaxie. Par comparaison, les périodes de temps historiques dans le passé correspondant à l'intervalle de temps qu'il faudrait parcourir pour atteindre ces limites.
Bref la conclusion est claire, une croissance énergétique à 2% par an produit des chiffres totalement absurdes après quelques siècles, et conduirait en quelques millénaires à épuiser l'ensemble des sources d'énergie de l'Univers visible.
Pourquoi ne nous en sommes pas encore aperçu ? la réponse est simple : parce que la civilisation industrielle n'a qu'un peu plus de 200 ans, et 200 ans, ce ne sont QUE SIX temps de doublement à 2% par an, soit "juste" un facteur 100 environ (64 pour etre précis, mais on est dans l'ordre de grandeur). C'est effectivement ce qui s'est passé : grosso modo, par rapport à l'époque préindustrielle, on a une population 10 fois plus nombreuse et une consommation par habitant aussi 10 fois plus grande.
Un facteur 100, c'est beaucoup, mais c'est encore supportable ... la preuve ! 100 , ce n'est pas "démentiel". Le seul problème est qu'une nouvelle période comme celle-là ferait au total un facteur 100*100 = 10 000 (soit 100 fois la consommation actuelle), et encore une de plus conduirait à 10 000 fois la consommation actuelle. Bien avant d'arriver aux milliards , on se rend compte que c'est déjà inimaginable. La civilisation industrielle a DEJA épuisé pratiquement totalement son potentiel de croissance, et nous sommes DEJA a la limite de ce qui est supportable. Un simple facteur 2, c'est à dire rappelons le 35 ans de croissance à 2%, est déjà quelque chose qui parait assez ardu à réaliser.
Il faut bien comprendre que ce phénomène n'est pas spécifiquement du à la civilisation industrielle, mais aux propriétés de l'exponentielle. D'une façon générale, et quel que soit le phénomène, une exponentielle ne peut durer raisonnablement que quelques temps de doublement. Une dizaine de temps de doublements conduit déjà à un facteur 1000. Plusieurs dizaines conduisent à des nombres physiquement totalement déraisonnables.
Si on résume ce qui vient d'etre calculé, c'est qu'une exponentielle impose son échelle de temps caractéristique, qui est en ordre de grandeur l'inverse de son taux de croissance 1/k, et qu'elle impose des limites qui sont de quelques fois 1/k.
Il y a une remarque à faire, que j'ai très rarement, si ce n'est jamais vue clairement exposée. On n'a jamais dit clairement pourquoi c'etait un taux de quelques % par an qui était "bon" pour l'économie. Pourquoi pas 10 fois plus ou 10 fois moins ? la réponse me parait assez naturelle : un taux de quelques % par an correspond à un temps de doublement de quelques décennies, c'est à dire à peu près une vie humaine. Ca a une conséquence très importante : c'est qu'une croissance éconmomique de quelques % par an a pour conséquence l'amélioration sensible de la condition de vie des gens PENDANT LEUR VIE. Ce n'etait pas du tout le cas avant. La croissance préindustrielle était bien plus lente et surtout bien plus fluctuante, avec des périodes de régressions à peu près comparables à celles de croissance, et en moyenne, les gens mouraient dans le meme monde que celui où ils étaient nés. La période extraordinaire que nous avons connue est extraordinaire justement parce que , pour la première fois dans l'histoire de l'humanité, les humains ont vu leur condition changer spectaculairement pendant leur vie - ce qui n'etait possible qu'avec ces taux de croissance de quelques % par an. Notons que des croissances bien plus rapides (et la croissance de 10 % /an comme en Chine, c'est déjà beaucoup) conduirait à des changements tellement rapides qu'ils pourraient ne plus etre gérables dans une vie humaine. L'optimum est donc bien un temps de doublement "à peu près " comparable à la vie humaine.
Mais ... il y a un hic... un GROS hic. Un ENORME hic. C'est que si on désire avoir un temps de doublement comparable à la vie humaine, d'après les considérations précédentes, cela signifie que cette période ne peut durer que quelques générations, ou bien on retombe dans l'absurdité des nombres immenses. Autrement dit, la croissance industrielle de quelques % par an porte en elle-meme sa finitude temporelle. C'est PARCE QUE nous avons voulu que notre vie s'améliore de manière visible, dans l'espace d'une vie que cette amélioration est par essence finie, et ne pourra jamais concerner que quelques générations. L'espoir d'une croissance sur des millénaires est totalement impossible à réaliser.
Dans la suite, je répondrai d'avance aux objections que je connais déjà, à savoir : oui mais tout ça ne concerne que des limites MATERIELLES, mais qu'est ce qui empeche de faire une croissance IMMATERIELLE qui n'est pas soumise aux limites physiques ? je montrerai qu'une croissance immatérielle infinie est tout aussi impossible qu'une croissance matérielle. Et ensuite, nous essayerons de répondre à la question : mais si la croissance ne peut pas durer, alors que va-t-il se passer ensuite ?
